La enseñanza de las matemáticas quedó estupefacta y sin respuestas claras desde la masificación de las calculadoras a mediados de los años 70 y hasta la actual inteligencia artificial (IA). Varias corrientes se fueron superponiendo, mezclando, contradiciéndose, desde un rechazo inaugural hasta la aceptación con limitaciones. Las calculadoras, por ejemplo, basan sus modelos en los exámenes de diferentes secundarios o universidades, en los países desarrollados, que pueden admitirlas, incluso algunas, por ejemplo la HP Prime, tiene un modo examen.
Sin embargo, hasta mediados de los 80, se creía que operaciones complejas como las integrales y en general las operaciones simbólicas, no podrían jamás ser realizadas por máquinas. Por lo tanto tenía sentido enseñar a operar simbólicamente. Pero, repentinamente y casi sin aviso, solapadamente, aparece en el ambiente un software llamado Derive, que permitía operar simbólicamente sin embargo su impacto en la enseñanza de las matemáticas fue bajo, muchos años después se populariza en las escuelas el Geogebra, que fue incorporando herramientas de manipulación simbólica, denominada CAS, acrónimo de Computer Algebra System (=Sistema de álgebra computacional).
Mientras que hay investigación activa sobre el impacto de las nuevas tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas en el nivel primario, se encuentran pocas referencias sobre los programas CAS en el nivel secundario. Al abordar estas herramientas, en un punto se enfrenta inevitablemente la disyuntiva de priorizar las conclusiones a las que se llega mediante las operaciones frente a la mecánica de las propias operaciones. Esto ya se evidenciaba cuando se comienzan a utilizar las calculadoras científicas sencillas, existiendo hoy un consenso claro de permitir y estimular su uso, aunque en mis observaciones las mismas están subutilizadas, no explotando toda su potencialidad, aunque, si bien es un tema ligado, conviene para claridad de exposición discutirlo en un artículo aparte.
Los programas CAS: Wolfram Alpha y Geogebra
La discusión utilizara Geogebra porque se puede utilizar en tablets y celulares sin cargo y sin necesidad de conectividad , es bastantes sencillos y están en español, pero por supuesto hay varios más que se pueden utilizar en PC también, pero a los efectos de lo que se viene a tratar aquí es suficiente.
La idea central es la posibilidad de saltar el laborioso aprendizaje de operaciones matemáticas complejas en pos de aprender el concepto y centrar el aprendizaje en sus aplicaciones y las herramientas CAS. Tampoco se quiere caer en un extremo, se pueden enseñar la operatoria básica, por ejemplo de una división de polinomios y la regla de Ruffini, para luego utilizar CAS, tanto para verificar los resultados como para afrontar problemas de mayor complejidad, que requeriría realizar operaciones muy largas y complejas. Asi, la enseñanza centraría sus objetivos en los conceptos y el manejo de las herramientas, agilizando de esta forma la formación. Como contrapartida se perdería la formación en habilidades de cálculo.
La dinámica de la ciencia: Ecuaciones Diferenciales
Los fenómenos naturales se modelan matemáticamente mediante ecuaciones, en casos muy simples se suele recurrir a ecuaciones algebraicas, por ejemplo, si se desea conocer cuánto demorará la luz del sol en llegar hasta la Tierra (=T luz ) , se puede utilizar la ecuación:
T luz = D Tierra_Sol / c. Donde D Tierra_Sol es la distancia entre el Sol y la Tierra y c, la velocidad de la luz.
Sin embargo, en muchas ocasiones se desea conocer la relación funcional que rige un determinado fenómeno y para ello se debe recurrir a las denominadas ecuaciones diferenciales, es decir ecuaciones que involucran derivadas. Por ejemplo el crecimiento celular se puede modelar mediante una ecuación diferencial simple:
dN/dt = r N (1)
donde dN/dt, indica la derivada de N (= Número de células) respecto al tiempo (=t) , r es la tasa de crecimiento (depende de cada tipo de células). Esto constituye una ecuación diferencial. A grandes pinceladas indica que la velocidad de aumento en el número de células con el tiempo es directamente proporcional a la cantidad de células. Esta ecuación diferencial es fácilmente integrable y se utilizará Geogebra (CAS) para mostrarlo. Antes y como cada vez que se utiliza este tipo de programas hay que hacer algunos ajustes y aclaraciones:
La fórmula (1) utiliza la notación de Leibniz, que es más clara por distinguir entre la función y la variable respecto a la cual se deriva, pero Geogebra utiliza la notación de Newton, es decir un apostrofe ‘ para indicar la derivada: dN/dt = N’; por otra parte acepta como variable dependiente la letra y, para la variable independiente la letra x.
Luego se procede a resolver la ecuación (1), recordando el cambio de las letras: N?y; t ?x; dN/dt?y’
Se escribe en Geogebra : Resuelve EDO(Y=r y)
C1 es una constante que depende de las condiciones iniciales, es decir cuántas células hay al comienzo del experimento N O , a tiempo inicial t=0, o en este caso por el cambio obligado de letras a x=0; e es la denominada constante de Euler o base de los logaritmos naturales o neperianos, es un numero irracional y su valor aproximado e ? 2,718281828…
Para volver al problema original, el resultado se puede expresar de la siguiente forma: N=N O e rt (2)
Por lo tanto, la cantidad de células en un cultivo crece exponencialmente con el tiempo a un ritmo determinado por la constante r, que se puede determinar experimentalmente por depender del tipo de células, propiedades del medio de cultivo, temperatura, entre otros factores.
El lenguaje de las matemáticas unifica diferentes fenómenos. En el ejemplo anterior se utilizo una ecuación diferencial para resolver el problema del crecimiento celular, sin embargo muchos problemas dentro de las ciencias experimentales pueden ser abordados con el mismo tipo de ecuaciones, que se denominan Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (=EDO de primer orden):
1. Crecimiento y decaimiento exponencial: Este tipo de EDO se usa para modelar fenómenos como el crecimiento poblacional, el decaimiento radioactivo, y la disipación de calor.
2. Movimiento rectilíneo uniforme con resistencia: Modela el movimiento de un objeto que se mueve en línea recta con una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad.
3. Cargar y descargar un capacitor: En circuitos eléctricos, la carga y descarga de un capacitor a través de una resistencia puede modelarse con una EDO de primer orden.
4. Enfriamiento de Newton: Este modelo describe cómo un objeto se enfría o se calienta a través de su entorno.
5. Procesos de mezcla: En química y biología, la tasa de cambio de la concentración de una sustancia en una solución puede modelarse con una EDO de primer orden.
6. Epidemiología básica: El modelo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado) básico se puede simplificar a una EDO de primer orden para ciertos supuestos. Fueron utilizados para modelar la infección del COVID.
7. Cinemática básica: Describe el movimiento de un objeto bajo la influencia de fuerzas simples, como la gravedad sin fricción.
Estos son solo algunos ejemplos. Las ODE de primer orden son sumamente versátiles y encuentran aplicación en muchos campos diferentes.
Conclusiones
Esta publicación no agota el tema del uso de las ecuaciones diferenciales en el secundario, solo pretende realizar un primer llamado de atención sobre sus enormes posibilidades a la luz de las nuevas tecnologías disponibles al alcance de la mano y en el aula.
Si bien a primera vista el uso de ecuaciones diferenciales en el secundario estaría por encima de las posibilidades de los alumnos, no se debe perder de vista que la posibilidad de mostrar sus aplicaciones incentivaría el interés y la curiosidad de los alumnos por las matemáticas, al resolver problemas complejos pero reales. El esfuerzo de aprender terminología y programas nuevos vale la pena, ya que permite aplicar lo aprendido a la realidad.
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