La resolución de triángulos es elemental.

RESOLVER TRIANGULOS SIN TRIGONOMETRIA CLASICA

En la Trigonometría académica es necesario copiar los valores necesarios para formar las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente, es decir usar las tablas trigonométricas o las calculadoras específicas , pero nosotros no necesitamos esas funciones.
Este método se ha compuesto principalmente para la Formación Profesional, de modo que los alumnos conozcan un modo de fácil aprendizaje y operatividad de la resolución de triángulos, porque si tienen que estudiar matemáticas, es comprensible que éstas incluyan la Trigonometría en la Geometría.
Como este método está creado principalmente para aprender a resolver un triángulo, primero, en el aprendizaje en Formación Profesional, también es oportuno en la vida laboral. Aunque existen muy buenos aparatos para tratar ángulos y distancias, se debe saber operar teóricamente de un modo fácil y rápido, y al alcance de todo el mundo; es
decir operando de la forma más práctica aunque los cálculos se aparten de la forma académica.
Y ya , sin más preámbulos, entremos en la resolución de triángulos rectángulos exponiendo un ejemplo; a la vista del mismo se detallarán los pormenores que conducen a la creación del método.
Composición del triángulo del ejercicio comprendido en el círculo trigonométrico:
Angulo al centro 25°; ángulo complementario 65°
Cateto opuesto 14 unidades de longitud
Cateto adyacente 30 unidades de longitud
Hipotenusa 33,10 unidades de longitud
Comenzamos por hallar el cateto adyacente, conociendo el opuesto de 14 y el ángulo de 25°.
( 25° × 1,4142 = 35,35 ) + 40° = 75,35 35, 35 / 14 = 75,35 / 29, 84 cateto hallado ( se redondea a 30 )
1,4142 es raíz cuadrada de 2 40° es la diferencia entre ángulos complementarios: 90° – 25° = 65°; 65°- 25° = 40°
Hallar cateto opuesto conociendo el adyacente de 30 y el ángulo de 65° ( 25° × 1,4142 = 35,35 ) + 40° = 75,35
75,35 / 30 = 35,35 / 14,07 cateto hallado ( se redondea a 14 ) 1,4142 es la raíz cuadrada de 2
40° es la diferencia entre ángulos complementarios: 90° – 25° = 65°; 65° – 25° = 40°

Se observa que ambos catetos de calculan igualmente. Siempre se parte del ángulo menor de los dos complementarios. Cada proporción ocupa el lugar que la corresponde, según sea como proposición o resolución.
Hallar los dos ángulos complementarios conociendo los dos catetos, 14 y 30.
( 14 × 1,4142 = 19,79 ) + 16 = 35,79
35,79 / 45° = 19,79 / 24,88° ( se redondea a 25° ) 90° – 25° = 65°
Por tanto los ángulos complementarios son 25° y 65° Se observa que el cálculo para hallar los ángulos complementarios es similar al cálculo de los catetos

Los resultados calculados son siempre cantidades enteras con decimales porque el factor que interviene también es así (1,4142); por consiguiente se pueden redondear.

La hipotenusa se halla por el Teorema de Pitágoras pues su cálculo es elemental y al alcance y comprensión de todo el mundo.
Para resolver el caso de un triángulo conociendo la hipotenusa y uno de loa ángulos complementarios, procederíamos operando de la siguiente forma:
Hipotenusa 33,10; ángulo 25°.
90° – 25° = 65° , por tanto calculamos los catetos analógicos del modo expuesto
anteriormente
25° × 1,4142 = 35,35°
35,35° + 40° = 75,35°
Los dos ángulos complementarios ya nos dan a conocer, en longitudes analógicas, los catetos también analógicos, antecedentes de las razones de las proporciones que compararemos; calculamos la hipotenusa por los catetos anteriormente hallados; esta es 83,23
83,23 / 33,10 = 35,35 / 14,05 = 75,35 / 29,96
14,05 es el cateto al centro y 29,96 es el cateto adyacente.
Para terminar la resolución total del triángulo faltaría calcular su área, pero nosotros la omitimos.

En cuanto a la resolución de triángulos no rectángulos, como es el caso de replanteos en construcción, se trazan los lados y sobre los mismos se miden las cotas que interesan para formar triángulos rectángulos auxiliares que conducen a la resolución de los definitivos; véase el caso del trazado de un ángulo recto mediante la terna pitagórica de lados 3, 4 y 5. Este ejemplo es muy utilizado en trabajos de construcción. Cuando el ángulo a resolver es de graduación desconocida, los autores del método parten de la bisectriz del ángulo a calcular para medir sobre ésta y un lado del triángulo las cotas que serán los lados de un triángulo auxiliar que resuelven por trigonometría clásica; pero nosotros lo resolveríamos por nuestro método.

Aclaraciones a las dudas que puedan surgir.
La pregunta que surge habiendo observado las resoluciones anteriores y el modo de cálculo, es cómo pueden ser posible si en el círculo trigonométrico no hay esas proporcionalidades, y por ese defecto se establecieron las razones trigonométricas de la Trigonometría conocida. La respuesta es una de las particularidades que a continuación se van a exponer, para poder proceder por medio de cálculos elementales si se quiere establecer un modo de resolución de triángulos también elemental prescindiendo de las funciones trigonométricas.

  Analicemos la base de las posibilidades del método.
El círculo trigonométrico del que se parte para la Trigonometría académica comprende inscrito el triángulo a calcular y así no son posibles las proporcionalidades que estamos tratando; pero si el triángulo del problema está inscrito en un triángulo de 45° al centro, y su hipotenusa está comprendida entre el centro del círculo y la cuerda del arco del ángulo de 45°, entonces aparecerán esas proporcionalidades; estudiando detenidamente esas posibilidades se advierten varias vías de resolución, todas ellas mediante operaciones de geometría y aritmética de fácil exposición y aprendizaje como queda dicho en la presentación del método. La vía por la que se ha operado en los ejemplos expuestos es la más fácil de las que puede contener el método.
-.Entremos en detalles observados en los modos operativos del ejercicio expuesto para calcular los elementos de un triángulo rectángulo.
Como hemos prescindido de los valores que se copian de tablas para resolver un triángulo, hemos tenido que crearlos deducidos de los elementos a la vista del propio triángulo, que dado su facilidad para obtener razones y proporciones directas, es el medio, sobradamente elemental, para encontrar los valores requeridos. Y estas razones y
proporciones conducen a las siguientes proposiciones:
La diferencia entre los dos ángulos complementarios, más el producto de multiplicar el menor por la raíz cuadrada de 2, es proporcional a los dos catetos.

 La diferencia entre los dos catetos, más el producto de multiplicar el menor por la raíz cuadrada de 2, es proporcional a los dos ángulos complementar.
Las dos proposiciones expuestas son exclusivas del método que se está enseñando. Por consiguiente, el único valor que tenemos que utilizar para calcular es 1,4142 . Así se ha procedido en los cálculos expuestos.
La raíz cuadrada de 2 es el valor que sigue aportando proporcionalidades en el método que seguimos.
En la resolución de hallar los ángulos complementarios del triángulo partiendo de los catetos, el antecedente de la razón 35,79 / 45° equivale a la longitud de la hipotenusa del triángulo de 45° al centro; por consiguiente 35,79 ÷ 1,4142 = 25,30. Por lo que 25,30 es la longitud de cada uno de los catetos del triángulo de 45° al centro.
Se llega a esta solución porque este triángulo se ha transformado en isósceles, dando lugar a otra verificación propia del método, que es la siguiente:
El cateto opuesto de todos los triángulos comprendidos entre el centro y la cuerda del arco del ángulo de 45° son proporcionales entre si.
Estableciendo la siguiente proporción partiendo del triángulo que estamos resolviendo se comprueba 45° / 25,30 = 25° / 14
Este principio no se puede establecer en Trigonometría convencional por falta de proporcionalidades, aunque se parta de un triángulo isósceles. Dividiendo la hipotenusa de un triangulo rectángulo entre la raíz cuadrada de 2 para
transformar un triángulo rectángulo en isósceles es de tiempo inmemorial.

 Similitudes con la Geometría clásica.
.- Aunque el método que exponemos no entre de modo directo en la Geometría convencional sí puede ser admitido de modo alternativo a la misma; lo afirmamos y pasamos a su exposición, admitiendo que se le puede otorgar un plus de garantía, por el siguiente razonamiento.
El estudiante de bachillerato, o antes incluso, estudia y aprende en Geometría las aplicaciones de la teoría de semejanza y proporcionalidad ; pues bien, esta teoría de aplicaciones trata y enseña las que aparecen en los libros de texto. A continuación se citan diversos ejemplos para poder comparar la similitud de los mismos con los
ejemplos del método que se está siguiendo.
.- Hallar la media proporcional a dos segmentos .- Dividir un segmento en determinado número de partes iguales.
Obsérvese la facilidad que otorga este principio para resolver el conocido problema de trisecar un ángulo.
Medir una altura a cuyo pie sea posible llegar.- Hallar una cuarta proporcional a tres
segmentos dados.- Construir un cuadrado equivalente a un triángulo; etc, etc.
Observados estos ejemplos enseguida se advierte la principal característica que los une al origen geométrico del método de resolución de triángulos que estamos desarrollando.
En unos y otro se han incorporado líneas, superficies, puntos de encuentro, etc, es decir elementos auxiliares para poder desarrollar la proposición que persiguen. Por tanto, la teoría de semejanza y proporcionalidad, por su gran diversidad, da lugar a múltiples desarrollos creando una gran riqueza de proposiciones muy favorable en el mundo laboral. Este es el principio que nos ha llevado a la creación de nuestro método. Como referencia indiscutible de la gran diversidad de aplicaciones de semejanza y proporcionalidad, remitimos a la observación de los textos de Los Elementos de Euclides.

Un toque de psicología.
Para el mundo laboral la resolución de triángulos es considerada un útil de trabajo, como es en construcción, topografía, industria, etc,etc. Por tanto se debe tener muy en cuenta la importancia que debe tener por su asequible y fácil manejo; en otras palabras,
la resolución de triángulos debe ser adaptada ergonómicamente como una herramienta más a la seguridad personal en su aplicación buscando la máxima eficacia de los practicantes evitando en lo posible todo riesgo de errores.
Ello evita también inconvenientes psíquicos en su uso. Debemos creer que lo expuesto no es inoportuno ya que la inseguridad en el trabajo crea tanto trauma como un accidente físico.
En la confección del método de la resolución de triángulos y longitudes se ha tenido muy en cuenta su aplicación ergonómica, como se indica, por lo que no podía dejarse de lado la relación que pudiera tener con la psicología más elemental y que ésta sirviera de apoyo tanto en su composición como en su aplicación. Considerando la particularidad que se observa en el triángulo rectángulo referente al concepto psicológico “Aprendizaje de pares asociados», dada la asociación que tienen entre sí los dos ángulos complementarios y los dos catetos, cabe la aplicación que se le puede dar a nuestro método de “ Cuanto más semejantes sean dos cosas, más cercanas entre sí se
encontrarán sus representaciones neuronales y mayor será la interacción entre ellas»; obsérvese cuán semejante es el cálculo de ángulos y catetos que se resuelven mediante un mismo valor 1,4142 (raíz cuadrada de 2). (Estas citas entrecomilladas proceden del libro de George A. Miller, Introducción a la
psicología.)

La nota fue realizada por Pedro Ramos. España