Congruencia de Triángulos

Cuando trabajamos en el área de Geometría, es más fácil encontrar un modo de que los chicos aprendan utilizando material concreto; sin ir muy lejos, lo vemos en la utilización de los conocidos útiles de geometría.

Además, la Geometría nos brinda un espacio para que los chicos puedan producir y validar sus propios conocimientos, haciendo un trabajo exploratorio, de ensayo y error, de conjeturas y explicaciones. Podemos empezar a ejercitar así, en nuestros alumnos, el proceso deductivo que de forma natural deben aplicar, pero que, lamentablemente, hoy en día se encuentra muy perdido en las aulas.

Dentro de la gran variedad de temas de Geometría, los triángulos tienen un papel fundamental, que radica en la siguiente gran relación: todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. De ahí, la importancia del estudio de todas las características y propiedades de estas figuras de tres lados.

En esta nota, traigo una actividad divertida para introducir a nuestros alumnos en el concepto de triángulos congruentes.

Recordemos que, en Matemática, a la relación de igualdad entre dos figuras planas se la denomina congruencia. Entonces, dos triángulos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño, es decir que, coinciden en toda su extensión. Esta definición, es una de las tantas que los chicos pueden ir construyendo a través de nuestra orientación y, para ir desglosando cada parte de la misma, existen diversos tipos de actividades entretenidas y que salen de los tediosos cálculos y problemas matemáticos.

Una actividad introductoria que recomiendo es la siguiente, yo la llamo Superposición:

Superposición
Júntense en grupos de no más de cuatro chicos. A cada grupo se les entregará un conjunto de triángulos de cartulina numerados del 1 al 15. La consigna es que vayan superponiendo de a dos triángulos hasta encontrar aquellos pares de triángulos que coincidan exactamente uno encima del otro.
Una vez que encontraron los pares de triángulos respondan:
1) ¿Cuántos son los pares de triángulos coincidentes? ¿Cuáles son esos pares? (designen cada triángulo con el número correspondiente).

2) Tomen el triángulo número 2 y el número 3 y superpónganlos, ¿coinciden? ¿Por qué?

3) Ahora tomen el triángulo número 4 y superpónganlo al número 2, ¿coinciden? ¿Por qué?

4) ¿Qué sucede en relación a la forma y tamaño en los triángulos que si coinciden?

5) ¿Cómo son entre si los triángulos coincidentes?

Podemos decir, entonces, que dos triángulos ……………………… tienen la misma…………….. y el mismo…………………..

La primer pregunta a responder tiene como objetivo verificar que todos los grupos hayan encontrado los mismos pares de triángulos coincidentes para que no queden dudas sobre el trabajo inicial que los alumnos debían realizar. Por lo general, no les lleva mucho tiempo encontrar los mismos y el hecho de que los triángulos estén numerados ayuda a una identificación rápida de los mismos en cada grupo.

Las preguntas 2 y 3 son muy importantes, es donde deben aparecer los conceptos de “forma” y “tamaño” que componen la definición a la que queremos llegar. En una de las preguntas los alumnos van a tener que comparar dos triángulos que tienen la misma forma, pero cuyo tamaño difiere notablemente. En la otra será al contrario, dos triángulos de un mismo tamaño, pero con una forma diferente.

Las preguntas 4 y 5 son las que van a permitir que los chicos completen la conclusión final. En la cuarta pregunta siempre concluyen que los triángulos coincidentes tienen la misma forma y tamaño, mientras que en la pregunta número cinco, la idea es que pasen de llamar “coincidentes” a denominar “iguales” a los triángulos en cuestión.

Así, la conclusión debe quedar completa de la siguiente manera: “Podemos decir, entonces, que dos triángulos iguales tienen la misma forma y el mismo tamaño”

Llegados a este punto, lo único que falta instaurar en el aula es el concepto de Congruencia, que claro está, los alumnos desconocen o suponemos que desconocen. Este concepto lo debemos dar directamente nosotros. Recomiendo, debajo de la conclusión anterior, añadir a la actividad un lindo cuadro de texto que introduzca esta nueva palabra, por ejemplo:

Quiero aclarar que, luego de definir esta relación de congruencia, es necesario transmitir otros nuevos conceptos que de ella desembocan, antes de pasar a los criterios de congruencia de triángulos.

Es por eso que, dejo de yapa, una actividad interesante, que utilizo para que los chicos vean la correspondencia de lados y ángulos en un par de triángulos congruentes. Cabe destacar que es importante, antes de dar la actividad, hacer un acuerdo con los chicos o recordarles cómo llaman a los elementos y a los triángulos en sí, es decir, hacer un acuerdo sobre las notaciones que se van a utilizar.

A calcar!
Calquen el triángulo HIJ (HIJ) sin olvidar los vértices y superpónganlo sobre el ABC para comprobar si coinciden o no. Luego respondan las preguntas que hay a continuación:

1) ¿Son congruentes estos triángulos? ¿Por qué?
2) ¿Con qué vértice del triángulo HIJ hicieron coincidir al vértice A del ABC para que los triángulos coincidan?
3) Si apoyo el vértice I del HIJ sobre el vértice C del ABC, ¿coinciden los triángulos?¿Por qué piensan que sucede esto?
Vemos que se da una correspondencia entre los vértices de uno y otro triángulo:
a) Al vértice A del ABC le corresponde el vértice………del HIJ.
b) Al vértice………..del ABC le corresponde el vértice I del HIJ.
c) Al…………………………………………………………………………

Esto se debe, entonces, a que debemos superponer los lados y los ángulos respectivamente iguales, es decir, los lados y ángulos también son congruentes.
Según esto, ¿les parece lo mismo decir que ABC es congruente con HIJ, que decir que, ABC es congruente con JHI? ¿Por qué?
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Concluimos que es muy importante el orden de las letras cuando decimos que dos triángulos son congruentes: el orden debe respetar la congruencia.
Además…
…hay una correspondencia entre los lados y ángulos respectivamente congruentes, es por eso se los denomina correspondientes.
Tomando los dos triángulos anteriores vemos que el ángulo A es congruente con el ángulo………., es decir que, A y……… son correspondientes.
Del mismo modo, el lado AB es congruente con el lado……………., es decir que, AB y …………son correspondientes.
Escriban ustedes los pares de lados y ángulos correspondientes que faltan nombrar.