Raíces de un polinomio y experiencia WolframAlpha

logowolframalphaYa es noticia vieja, que en los nuevos diseños del área de Matemática, se nos pide no dar los casos de factorización de polinomios como tales, ya que han perdido su sentido: se dan como algo totalmente ajeno a lo que son las raíces de un polinomio, transformándose para los chicos en una tarea ardua y muy compleja, que no tiene un objetivo claro en su aplicación, más que saber cómo combinarlos entre sí. En mi caso particular, estoy absolutamente de acuerdo con este pedido del diseño y es por eso que, al crear mi guía teórico-práctica sobre polinomios, cuando llegué a la parte de factorización, cambié el titulo y lo llamé Raíces de un polinomio.

La guía comienza pidiendo a los chicos que evalúen un polinomio dado en ciertos valores de la variable x (ellos ya saben evaluar un polinomio, es contenido previo). De esos valores, hay algunos que anulan el polinomio y otros que no, los chicos deben identificar a los valores de x que sí lo anulan, para que luego yo pueda institucionalizar en la clase la primer definición: “ x = a es raíz de un polinomio P(x), si y sólo si P(a)=0”. Dicho concepto, debe recordarse clase a clase, mientras se avanza en los contenidos, es sumamente importante que no lo pierdan de vista.

Luego de que los alumnos trabajan en unas actividades sobre este nuevo conocimiento, en la guía paso a enunciarles el Teorema Fundamental del Álgebra: “Un polinomio de grado n, tiene como máximo n raíces reales”, frase que ellos deben completar en sus fotocopias, ya que es una regla fácil para que recuerden. Además, para ese entonces, los alumnos ya van preguntando cómo saben hasta cuántos valores de x que anulen el polinomio pueden encontrar, la mayoría tiene la idea de que pueden ser infinitos, así que, cuando conocen este teorema, sus mentes quedan más tranquilas.

Sin actividades de por medio, inmediatamente después de explicarles y charlar un rato sobre lo que nos dice el teorema fundamental, paso a darles la fórmula de la expresión factorizada de un polinomio dadas sus raíces. Para esto, primero recuerdo qué es lo que significa Factorizar, haciendo una comparación con la descomposición de números en factores primos. Lo importante es que quede claro que, Factorizar es principalmente escribir como un producto y que, dadas las raíces de un polinomio, existe una fórmula que nos da una expresión factorizada del mismo: P(x) = a.(x – x1).(x – x2). … . (x – xn), donde a es el coeficiente principal y x1, x2, …, xn son las raíces del polinomio. Luego, ellos solos completan un ejemplo en la fotocopia, que los va guiando paso a paso hasta expresar el polinomio en forma factorizada, usando la fórmula brindada.

ejemplofactorizacionDespués del ejemplo, que lo vemos en el pizarrón de forma rápida, para comprobar que todos hayan llegado a lo mismo, paso a explicar el tema de la multiplicidad de las raíces, a través de varios y variados ejemplos, teniendo siempre presente la directa relación con el grado del polinomio, a través del teorema fundamental visto. La verdad es que, en estos tres años de implementación de esta guía, los chicos siempre han entendido rápido este tema, llegan a comprender, de manera sencilla que, por ejemplo, un polinomio de grado cuatro puede tener tanto cuatro raíces reales distintas como dos raíces dobles o una raíz triple y una simple.

Llegado a este punto, doy bastante actividad sobre estos dos últimos temas, tanto para que escriban la expresión factorizada, dadas las raíces con su multiplicidad, como para que identifiquen raíces y multiplicidad a partir de un polinomio expresado en forma factorizada. También, se trabaja con el pasaje de la forma factorizada a la polinómica, desarrollando cubos y cuadrados de binomios y resolviendo productos entre polinomios, para que vean que es el mismo polinomio expresado en dos formas distintas.

Por último y no menos importante, doy una consigna de trabajo a entregar, en donde integro todo lo antes mencionado con funciones polinómicas, siempre y cuando los alumnos tengan nociones básicas sobre el análisis de este tipo de gráficos. De ser así, se entiende que, como contenido previo, deben saber que las raíces en una función polinómica son aquellos valores de x en donde el gráfico corta al eje de las abscisas. Es ideal hacerles notar que, justamente en esos valores, la función vale cero, es decir, se anula.
Lo interesante, además de la integración de contenidos, es que antes de darles la consigna, les pido que hallen los gráficos de cada una de las funciones con las que van a trabajar, ingresando en la siguiente página: http://www.wolframalpha.com

WolframAlpha es una calculadora y un graficador online. Lo único que deben hacer es ingresar la expresión del polinomio, pulsar Enter y el programa les mostrará directamente el gráfico, en realidad y, por lo general, muestra dos gráficos, uno más ampliado y, además, también les indica las raíces, la factorización, derivaciones, integraciones, etc. Todo un estudio muy completo.

Recomiendo que investiguen esta herramienta, no sólo para trabajar con polinomios y funciones, hay una gran variedad de temas en los que se puede usar esta página. A los chicos les explico cómo deben usar la página y les doy un tutorial que también les puede servir a ustedes: https://www.youtube.com/watch?v=f5p28UY76-I. Explica desde lo más básico con lo que se puede trabajar en WolframAlpha.

Lo único que quizás es “complicado” es que, para escribir el símbolo de potenciación ^ deben primero encontrarlo en su teclado, luego presionando Shift y la tecla donde se encuentra el símbolo, debería de aparecer. Sino, pueden escribirlo presionando Alt+94. Por ejemplo, para ingresar la primer función, les muestro que deberá quedarles así: -x^3+4x^2-x-6 sin espacios y sin signos de multiplicación entre los coeficientes y las variables.

Los gráficos deben recortarlos de la imagen de la pantalla, haciendo una captura, para que no quede toda la demás información que, en este caso, no nos interesa. Deben luego imprimirlos, para traerlos a la siguiente clase, en la que van a trabajar con la siguiente consigna: “A partir de los gráficos de las funciones obtenidas indicar raíces, multiplicidad de cada raíz y expresión factorizada de cada función polinómica”. Antes de que se pongan a trabajar, les pido que lean un ejemplo que agrego en la fotocopia, en donde explico cómo identificar una raíz que es doble, ya que es fácil que vean como rebotan en el eje x. Las demás raíces con las que se encontrarán son simples, ya que todavía no se habló de raíces no reales, tema que se ve luego, cuando en la guía comienzo a explicarles los métodos para hallar las raíces de un polinomio.
Con este último trabajo, los chicos afianzan del todo los conceptos explicados, además de relacionarlo con el tema de funciones.

El ver la interrelación de los contenidos, da más sentido, significado e importancia al concepto de raíz y, por ende, a la factorización de polinomios, que es justamente lo que buscamos y lo que, como dije al principio de la nota, nos piden los diseños.

Gabriela Bosco
Acerca de Gabriela Bosco 13 Articles
Profesora en Matemática, recibida del Instituto Juan N. Terrero. Capacitada en diseño y gestión de PLE. Actualmente me encuentro trabajando en el Colegio Nuestra Señora de Lourdes y en el Colegio Cristo Rey, ambos de la ciudad de La Plata. Además, estoy realizando una Especialización en Enseñanza de la Matemática para nivel Secundario.

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