El peso que falta

pensandoEstar atentos a los intereses de nuestros alumnos es parte de nuestra tarea como docentes. Poder llevar esos intereses al aula, siempre que sea posible, es algo ideal, ya que al formar parte del campo de interés de los chicos, los motiva a trabajar con energía natural, entusiasmo y responsabilidad.

Este año estuvo circulando por Facebook un problema, que más acertadamente podríamos llamar acertijo matemático y que dice lo siguiente:

“Ves una camiseta a $97. Como no tienes el dinero, le pides $50 a tu mamá y $50 a tu papá. Compras la camiseta, y te quedan $3 de vuelto. Le das a tu papá $1 y a tu mamá $1 y te guardas el otro $1 para vos. Ahora le debes a tu mamá $49 y a tu papá otros $49. Pero entonces, si $49 + $49= $98 + $1 tuyo = $99. ¿Dónde está el $1 que falta?”

Este problema llegó a mí a través de uno de mis alumnos de último año, quien lo subió al grupo de Facebook que tengo armado para ellos. En ese mismo espacio, a través de comentarios, surgió un lindo, pero corto debate, ya que el problema fue resuelto por uno de los chicos de forma rápida.
A los pocos días, una alumna de primer año me preguntó sobre el mismo acertijo, ya que estaba muy preocupada al no poder entender dónde está ese peso que falta. Me di cuenta inmediatamente que dicho problema era un tema de debate entre los chicos, fuera de la escuela, ya que la mayoría mostraba interés en querer dar una respuesta y todos comenzaron a dar sus opiniones a partir de la consulta que me hizo su compañera.
A partir de esto, decidí armar una clase para que trabajen sobre este problema o acertijo y además, agregué otro acertijo del mismo estilo que yo conocí durante mis años de estudio. Este otro acertijo plantea lo siguiente:

“Tres amigos van a un bar y piden tres cafés. Cuando llaman al mozo y le piden la cuenta, el mozo les dice $25. Cada hombre pone $10 y el mozo deja $5 de vuelto en monedas de $1.Los amigos se reparten $1 cada uno y los $2 restantes se lo dejan de propina al mozo. Si cada hombre pagó $9 ($10 menos $1 de vuelto), entonces pagaron (9×3) $27 entre los tres, más $2 de propina al mozo son $29. ¿Dónde está el peso que falta?”

La clase se organizó en grupos de no más de cuatro chicos y se les dictó los dos acertijos. La idea primero se orientó a que ellos lean detenidamente y hagan sus propios cálculos, para que pudieran concluir con seguridad que en realidad no hay ningún peso que falta. Cuando el grupo ya estaba seguro y convencido de que no faltaba ningún peso, es decir, de que “el problema los estaba engañando” (en palabras de los chicos), se les planteaba el desafío de encontrar cuál era el error en el razonamiento que se muestra en esa conclusión o deducción final del problema y que hacía que pareciera faltar un peso.
Esta fue la parte más difícil de la clase, ya que los chicos creían que con los cálculos que demostraban que no faltaba ningún peso alcanzaba para decir que el razonamiento estaba mal, pero en realidad, lo que se les estaba proponiendo era que encuentren “cómo el planteo incluye un desvío inconsciente que lo aleja de la solución.” (Adrián Paenza, Página 12, 2007). Es decir, debían encontrar en el planteo del problema aquella suposición camuflada como válida, sobre la cual no tenemos dudas que es así, pero que por el contrario representa aquél momento del problema donde se produce el engaño.
Y lo que sucede es que, uno queda desconcertado al no poder unir las dos partes implícitas en las que queda dividido el problema: la explicación de cómo el dinero va y viene, con la deducción final donde falta ese peso, que en realidad quedó en el camino, mientras leíamos el enunciado del acertijo.

Una vez que todos o casi todos los grupos encontraron o se acercaron teniendo una idea de dónde estaba el error, hice una devolución a toda la clase para explicar las partes importantes de lo que habían hecho y, por supuesto, para despejar todas las dudas que hubieran quedado sobre la resolución de cada problema.

Esta clase fue muy importante para aprender más sobre el grupo y su dinámica, verlos en una situación de clase distinta y más distendida. Principalmente debo resaltar que vi participar de forma activa y con mucho entusiasmo a chicos que en otro tipo de tareas son más tímidos o les cuesta más arrancar. Lo mismo pasó con los chicos más revoltosos, que trabajaron mejor que en muchas otras clases, cuando a veces parece imposible lograr que terminen una tarea completa. El comportamiento fue adecuado, ya que todos estaban inmersos en aportar sus opiniones y validarlas, entonces ponían mucho empeño en cómo expresarse y en escuchar a sus compañeros, para aprender entre ellos, valorando el aporte de los demás para complementar o mejorar el propio. En fin, los chicos disfrutaron la clase, fue divertida y productiva, por lo que aconsejo incluir este tipo de actividades en el currículo del año escolar, estando alerta, aprovechando y sin dejar pasar esos intereses que surgen en algún momento del año, ya sea en un grupo o en toda la comunidad escolar, y que podemos trasladar al aula.

Les dejo a continuación una muy clara y precisa explicación del problema de los tres amigos y ustedes mismos, de forma similar, podrán resolver el acertijo de la camiseta:

“Cada persona entró con 10 pesos en su bolsillo. Tenían que pagar la cuenta de 25 pesos.
Cada uno puso sus 10 pesos y el mozo se llevó los 30.
Cuando volvió, trajo 5 billetes de un peso. Cada uno de los comensales se llevó un billete de un peso y le dejaron dos billetes al mozo.
Eso quiere decir que como cada uno pagó 9 pesos (el billete de 10 que puso menos el billete de un peso que le devolvieron), en total, pagaron 27 pesos.
¡Y eso es exactamente lo que suma la cuenta (25 pesos) más la propina (2 pesos)!
Es incorrecto decir que los tres pagaron 9 pesos (lo cual suma 27) más los dos pesos de propina para el mozo (que sumados a los 27 resulta en los 29), porque en realidad, la cuenta MÁS la propina suman 27, que es exactamente lo que pagaron entre los tres.
Cuando uno quiere multiplicar por tres los 9 pesos que cada uno puso y obtiene los 27 pesos, es porque uno ya incluyó la propina más la cuenta.
El problema engaña, porque a uno le presentan la dificultad como que pagaron 27 pesos más los dos pesos de propina cuando en realidad en esos 27 pesos ya está incluida la recompensa para el mozo.” (Adrián Paenza, Página 12, 2007)

Gabriela Bosco
Acerca de Gabriela Bosco 13 Articles
Profesora en Matemática, recibida del Instituto Juan N. Terrero. Capacitada en diseño y gestión de PLE. Actualmente me encuentro trabajando en el Colegio Nuestra Señora de Lourdes y en el Colegio Cristo Rey, ambos de la ciudad de La Plata. Además, estoy realizando una Especialización en Enseñanza de la Matemática para nivel Secundario.

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