El miedo, ¿es irracional?

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Los números irracionales tienen una reputación muy particular en la escuela. Los estudiantes (y los no estudiantes también) parecen no saber qué son ni muchos menos para qué sirven o qué implica su existencia y por ello, muchos se niegan a tratarlos como números. ¿Por qué sucede esto? ¿Qué podemos hacer para trabajarlos en la escuela, más allá de los contenidos?

Una nota de color

Hace unas semanas dicté una clase de Análisis Matemático 2 en la Universidad y como para fin de cuatrimestre ya quedan muy pocos estudiantes, podemos trabajar cómodamente con la modalidad de taller. Teníamos que calcular el volumen de un sólido haciendo uso de integrales dobles en coordenadas polares. El problema era bien interesante ya que, para poder resolverlo, los estudiantes tenían que integrar muchos de los contenidos que habíamos estudiado en la materia. Pero, sin quererlo así, había un enemigo encubierto que podía enturbiar todo lo anterior: el número irracional.

Varios estudiantes, una vez resueltas las integrales se enfrentaban al problema de evaluar la primitiva en los extremos y veían algo desconocido en sus cuadernos, como se ve en la Figura 1.

Figura 1. Número irracional que se obtiene de evaluar la primitiva en los extremos.
Figura 1. Número irracional que se obtiene de evaluar la primitiva en los extremos.

Sólo un grupo reducido de estudiantes, menor al 20% del total, pudo identificar ese objeto extraño como un número pero lo más sorprendente es que ni aun así podían afirmar que el volumen calculado era igual a ese número. ¿Qué necesitaban para convencerse? Una expresión, como mínimo, decimal. Y así, con mucha suerte mediante, podrían llegar a una aproximación del volumen que es la que se ve en la Figura 2.

Figura 2. Número irracional que es aproximado con la calculadora por un decimal.
Figura 2. Número irracional que es aproximado con la calculadora por un decimal.

El resto de los estudiantes, se encontraba en un estado de confusión tal que no lograba identificar lo que se ve en la Figura 1 como un número sino como una expresión algebraica. Y este es un problema entre didáctico y disciplinar porque las mismas letras que muchas veces usamos en otro sentido y contexto, como para el álgebra o la geometría, aquí representan algo bien diferente: un número. La gravedad del error no sólo terminaba con ello sino que oscurecía toda la actividad llevada a cabo hasta el momento: los casi 30’ que nos había tomado el análisis, la gráfica y la resolución se veían totalmente opacados por el último procedimiento de cálculo que no debería implicarle ningún esfuerzo a un estudiante universitario que dispone de calculadora científica.

El por qué de los miedos irracionales

¿Por qué me refiero al miedo a los números irracionales? Porque opera igual que el miedo que todos conocemos: nos paraliza, ejerce coerción. Porque frente a ese desconocido los estudiantes se niegan y olvidan todo lo que saben, igual que cuando cualquiera de nosotros tiene miedo, por ejemplo. Tal vez en otra nota podríamos hablar sobre el miedo a la matemática, ¿por qué no? Si, de hecho, opera igual. Pero bueno, no quiero perder el hilo.

Ahora bien, ¿es realmente un miedo o solo un contenido aprendido de forma deficiente? ¿Qué hace a los números irracionales tan … irracionales? Creo que son varios aspectos los que tenemos que comprender para poder responder.

Cuando aprendemos SIEMPRE hay obstáculos. No hay aprendizaje sin sobresaltos. Uno no aprende desde la comodidad de creer que todo lo sabe y esto hay que decirlo. Aprender va de la mano de fracasar, también. Los obstáculos a los que nos enfrentamos cuando aprendemos pueden tipificarse del siguiente modo: epistemológicos, didácticos y ontogenéticos. Indaguemos un poco sobre éstos para entender.

Un obstáculo epistemológico es aquel que es propio de la disciplina y  que, si uno revisa la historia, es un obstáculo que a la humanidad en su conjunto le tomó décadas o siglos sortear (si es que lo ha logrado); por ejemplo, la comprensión del modelo copernicano . Un obstáculo didáctico, en cambio, es aquel al que nos enfrentamos porque así lo ha dispuesto quién ha diseñado la actividad de aprendizaje en tanto considera que es apropiado para ayudarnos a construir el conocimiento; por ejemplo, un profesor que pide estudiar si la potenciación es conmutativa con la base y el exponente y para ello pone como ejemplo los números 2 y 4 (haga la prueba). Por último, un obstáculo ontogenético es aquel que está ligado al desarrollo neurofisiológico de cada individuo y se manifiesta con limitaciones propias de cada estudiante; por ejemplo, la dislexia que es un tema bastanta tratado en esta revista.

Sucede que los números irracionales han sido un obstáculo para la humanidad, para el desarrollo de la ciencia: son un obstáculo epistemológico y de allí gran parte del problema en torno a su enseñanza. A tal punto han sido un obstáculo que se definen por la negativa: los irracionales son los que no son racionales, es decir, los que no se pueden escribir como un cociente de dos enteros (entendamos que heredan la etimología de la raíz latina ratio, razón).

Figura 3. Mismo resultado en display tanto para la operación con irracionales como con racionales.
Figura 3. Mismo resultado en display tanto para la operación con irracionales como con racionales lo que, de no conocerse el instrumento, podría prestarse a serias confusiones conceptuales.

Su definición es problemática: son lo que no son otros, ¿se entiende? En fin… Mientras la humanidad desarrollaba la matemática y muchas otras cosas más desde Pitágoras hasta Cauchy, los números irracionales reposaban en los anaqueles por más de 20 siglos esperando ser formalizados. Y si bien son incontables los avances de esos dos milenios, es cierto también que los números irracionales invitaban siempre a la zozobra.

Entonces, si a la humanidad le tomó todo ese tiempo estudiarlos, ¿cuánto nos puede tomar a nosotros? ¿Un trimestre en 2do 2da o cuatro semanas en 2do A? Es evidente que su incorporación no es ni va a ser nunca algo natural. Y ahí es donde aparecen (o deberían aparecer) en escena los obstáculos didácticos: esos que los profesores diseñamos para replicar porciones de la historia del conocimiento en nuestras aulas. Mostrarle a los estudiantes cuáles son los saltos y las discontinuidades que ha tenido el conocimiento en la historia y más: invitarlos a vivirlas.

Por supuesto, todo ello depende del nivel: no es lo mismo presentar por primera vez el número irracional a un estudiante novel de 13 o 14 años que presentarlo como un número algo más conocido a un universitario que estudiarlo con formalidad en las aulas de la Facultad de Exactas. Pero en cualquier caso, quien sea que tiene que invitar al irracional al aula es quien tiene que reconocer los obstáculos naturales y artificiales para trabajar con ellos en la búsqueda de un aprendizaje profundo. Solo así puede convertirse el miedo en una instancia superada.

Algunas ideas para ilustrar

En este último apartado voy a ser muy breve porque no quiero extenderme del núcleo que era el de poner en discusión qué sucede con la enseñanza de los irracionales. Lo que sí es importante recordar es que antes de poder diseñar una estrategia e intervención didáctica, tenemos que reconocer muchas cosas: a quién va dirigida, qué saben esas personas de ello, qué herramientas poseen, con qué propósito se aprende, entre muchas más.

Hay que es muy atractivo para trabajar en todos los niveles y es la búsqueda de patrones. Los irracionales, ya como estudio para chicos de los últimos años del secundario, tienen mucho de ello especialmente si se trabaja con sucesiones (que pueden ser adaptadas según el nivel y las habilidades).

Algunas ideas para explorar con la calculadora son las que se ven en las Figuras 4 y 5. Los temas son muy amplios y van desde funciones, sucesiones, límites, convergencia, no numerabilidad, irracionales algebraicos y trascendentes hasta una introducción -aunque sea sencilla- a las sucesiones de Cauchy y la completitud de la recta real.

Figura 4. Trabajo con la sucesión de Fibonacci y hoja de cálculo con la sucesión que converge al número de oro (irracional).
Figura 4. Trabajo con la sucesión de Fibonacci y hoja de cálculo con la sucesión que converge al número de oro (irracional).
Figura 5. Estudio empírico y muestra de la convergencia de la sucesión al número irracional e.
Figura 5. Estudio empírico y muestra de la convergencia de la sucesión al número irracional e.

Para más información o soporte: profedanielaparada@gmail.com o gs01@casio.com.uy.

Acerca de Daniela Laura Parada 4 Articles
Mi nombre es Daniela Parada, tengo 28 años y soy porteña. Soy Profesora de Matemática y estudiante de posgrado de la Universidad de Buenos Aires. Docente de vocación y desde muy temprana edad. Comencé a trabajar en la Universidad a dos semanas de haber finalizado la carrera de grado y ya nunca más me fui. Desde entonces, me he especializado en Didáctica de la Matemática y en Docencia Superior, campo en el que he escrito la tesis sobre la Profesión Académica de los Matemáticos en la Universidad. El mundo del libro me condujo, asimismo, hacia otro nuevo mundo donde conjugué mi vocación como capacitadora con mi pasión por la tecnología educativa: y fue allí donde redescubrí el universo Casio. Desde entonces, junto con el equipo de Casio Educación en Latinoamérica, nos ocupamos del dictado de workshops y talleres para docentes acerca de Educación Matemática y Tecnología, Resolución de Problemas y Matemática Recreativa, entre otras «hierbas». Soy amante de la lectura y de la escritura, de la educación y de la matemática, por igual y por espero poder contribuir con artículos que incluyan problemas novedosos, atractivos y de interés para toda la comunidad lectora de la Revista.
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